NEET-XII-Physics
10: Rotational Mechanics
- #13A body is in translational equilibrium under the action of coplanar forces. If the torque of these forces is zero about a point, is it necessary that it will also be zero about any other point?Ans : `` \,\mathrm{\,Yes\,},\,\mathrm{\,if\,}\,\mathrm{\,the\,}\,\mathrm{\,torque\,}\,\mathrm{\,due\,}\,\mathrm{\,to\,}\,\mathrm{\,forces\,}\,\mathrm{\,in\,}\,\mathrm{\,translation\,}\,\mathrm{\,equillibrium\,}``
`` \,\mathrm{\,is\,}\,\mathrm{\,zero\,}\,\mathrm{\,about\,}\,\mathrm{\,a\,}\,\mathrm{\,point\,},\,\mathrm{\,it\,}\,\mathrm{\,will\,}\,\mathrm{\,be\,}\,\mathrm{\,zero\,}\,\mathrm{\,about\,}\,\mathrm{\,other\,}\,\mathrm{\,point\,}\,\mathrm{\,in\,}\,\mathrm{\,the\,}\,\mathrm{\,plane\,}.``
`` \,\mathrm{\,Suppose\,}\,\mathrm{\,us\,}\,\mathrm{\,consider\,}\,\mathrm{\,a\,}\,\mathrm{\,planner\,}\,\mathrm{\,lamina\,}\,\mathrm{\,of\,}\,\mathrm{\,some\,}\,\mathrm{\,mass\,},\,\mathrm{\,acted\,}\,\mathrm{\,upon\,}\,\mathrm{\,by\,}``
`` \,\mathrm{\,forces\,}\stackrel{\to }{{F}_{1}},\stackrel{\to }{{F}_{2}},...\stackrel{\to }{{F}_{i}},\,\mathrm{\,etc\,}.``
`` \,\mathrm{\,Suppose\,}\,\mathrm{\,a\,}\,\mathrm{\,force\,}\stackrel{\to }{{F}_{i}}\,\mathrm{\,act\,}\,\mathrm{\,on\,}\,\mathrm{\,a\,}{\,\mathrm{\,i\,}}^{\,\mathrm{\,th\,}}\,\mathrm{\,particle\,}\,\mathrm{\,and\,}\,\mathrm{\,torque\,}\,\mathrm{\,due\,}\,\mathrm{\,to\,}\stackrel{\to }{{F}_{i}}\,\mathrm{\,be\,}\,\mathrm{\,zero\,}``
`` \,\mathrm{\,at\,}\,\mathrm{\,a\,}\,\mathrm{\,point\,}\,\mathrm{\,Q\,}.``
`` \,\mathrm{\,Since\,}\,\mathrm{\,the\,}\,\mathrm{\,body\,}\,\mathrm{\,is\,}\,\mathrm{\,in\,}\,\mathrm{\,translation\,}\,\mathrm{\,equillibrium\,},\,\mathrm{\,we\,}\,\mathrm{\,have\,}:``
`` \,\mathrm{\,\Sigma \,}\stackrel{\to }{{F}_{i}}=0...\left(1\right)``
`` \,\mathrm{\,Again\,},\,\mathrm{\,torque\,}\,\mathrm{\,about\,}\,\mathrm{\,P\,}\,\mathrm{\,is\,}\,\mathrm{\,zero\,}.\,\mathrm{\,Therefore\,},\,\mathrm{\,we\,}\,\mathrm{\,have\,}:``
`` \,\mathrm{\,\Sigma \,}\left(\stackrel{\to }{{r}_{pi}}\times \stackrel{\to }{{F}_{i}}\right)=0...\left(2\right)``
`` \,\mathrm{\,Now\,},\,\mathrm{\,torque\,}\,\mathrm{\,about\,}\,\mathrm{\,point\,}\,\mathrm{\,Q\,}\,\mathrm{\,will\,}\,\mathrm{\,be\,}:``
`` \,\mathrm{\,\Sigma \,}{\stackrel{\to }{r}}_{\,\mathrm{\,Qi\,}}\times \stackrel{\to }{{F}_{i}}``
`` =\,\mathrm{\,\Sigma \,}\left({\stackrel{\to }{r}}_{QP}+{\stackrel{\to }{r}}_{Pi}\right)\times \stackrel{\to }{{F}_{i}}\left[\,\mathrm{\,From\,}\,\mathrm{\,fig\,}.13\right]``
`` =\Sigma \left({\stackrel{\to }{r}}_{QP}\times \stackrel{\to }{{F}_{i}}+\stackrel{\to }{{r}_{Pi}}\times \stackrel{\to }{{F}_{i}}\right)``
`` =\,\mathrm{\,\Sigma \,}\stackrel{\to }{{r}_{QP}}\times \stackrel{\to }{{F}_{i}}+\Sigma \stackrel{\to }{{r}_{Pi}}\times \stackrel{\to }{{F}_{i}}``
`` =\stackrel{\to }{{r}_{\,\mathrm{\,QP\,}}}\times \,\mathrm{\,\Sigma \,}\stackrel{\to }{{F}_{i}}+0\left[\,\mathrm{\,From\,}\left(2\right)\right]``
`` =\stackrel{\to }{{r}_{QP}}\times 0\left[\,\mathrm{\,From\,}\left(1\right)\right]``
`` =0``
`` \,\mathrm{\,Thus\,},\stackrel{\to }{F}\,\mathrm{\,is\,}\,\mathrm{\,zero\,}\,\mathrm{\,about\,}\,\mathrm{\,any\,}\,\mathrm{\,other\,}\,\mathrm{\,point\,}\,\mathrm{\,Q\,}.``
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