NEET-XII-Physics
10: Rotational Mechanics
- #7The torque of a force
→Fabout a point is defined as
→Γ=→r×→F. Suppose
→r, →Fand
→Γare all nonzero. Is
r×→Γ||→Falways true? Is it ever true?Ans : `` \,\mathrm{\,No\,},\underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }\times \underset{\tau }{\to }\left|\right|\underset{\,\mathrm{\,\Gamma \,}}{\to }\,\mathrm{\,is\,}\,\mathrm{\,not\,}\,\mathrm{\,true\,}.``
`` \,\mathrm{\,In\,}\,\mathrm{\,fact\,},\,\mathrm{\,it\,}\,\mathrm{\,is\,}\,\mathrm{\,never\,}\,\mathrm{\,true\,}.\,\mathrm{\,This\,}\,\mathrm{\,is\,}\,\mathrm{\,because\,}:``
`` \underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }\times \underset{\tau }{\to }``
`` =\underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }\times \left(\underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }\times \underset{\,\mathrm{\,F\,}}{\to }\right)``
`` \,\mathrm{\,Applying\,}\,\mathrm{\,vector\,}\,\mathrm{\,triple\,}\,\mathrm{\,product\,},\,\mathrm{\,we\,}\,\mathrm{\,get\,}:``
`` \underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }\times \left(\underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }\times \underset{\,\mathrm{\,F\,}}{\to }\right)``
`` =\left(\underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }.\underset{\,\mathrm{\,F\,}}{\to }\right)\underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }-\left(\underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }.\underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }\right)\underset{\,\mathrm{\,F\,}}{\to }``
`` \because \underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }.\underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }={\,\mathrm{\,r\,}}^{2}``
`` =\left(\underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }.\underset{\,\mathrm{\,F\,}}{\to }\right)\underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }-{\,\mathrm{\,r\,}}^{2}\underset{\,\mathrm{\,F\,}}{\to }``
`` \,\mathrm{\,If\,}\underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }.\underset{\,\mathrm{\,F\,}}{\to }=0;\,\mathrm{\,that\,}\,\mathrm{\,is\,},\underset{r}{\to }\perp \underset{\,\mathrm{\,F\,}}{\to },\,\mathrm{\,then\,}:``
`` ``
`` \underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }\times \underset{\,\mathrm{\,\Gamma \,}}{\to }=-{\,\mathrm{\,r\,}}^{2}\underset{\,\mathrm{\,F\,}}{\to }``
`` \,\mathrm{\,We\,}\,\mathrm{\,know\,}\,\mathrm{\,that\,}{\,\mathrm{\,r\,}}^{2}\,\mathrm{\,is\,}\,\mathrm{\,never\,}\,\mathrm{\,negative\,}\,\mathrm{\,and\,}\underset{\,\mathrm{\,r\,}}{\to }\times \underset{\,\mathrm{\,\Gamma \,}}{\to }=-{\,\mathrm{\,r\,}}^{2}\underset{\,\mathrm{\,F\,}}{\to .}``
`` \,\mathrm{\,This\,}\,\mathrm{\,implies\,}\,\mathrm{\,that\,}\,\mathrm{\,both\,}\,\mathrm{\,vectors\,}\,\mathrm{\,may\,}\,\mathrm{\,be\,}\,\mathrm{\,antiparallel\,}\,\mathrm{\,to\,}\,\mathrm{\,each\,}\,\mathrm{\,other\,}\,\mathrm{\,but\,}\,\mathrm{\,not\,}\,\mathrm{\,parallel\,}.``
`` ``
`` ``
`` ``
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